אנו מסבירים מהי גיאומטריה, ההיסטוריה שלה ומושא המחקר שלה. בנוסף, המאפיינים של כל סוג של גיאומטריה.
מהי גיאומטריה?
גיאומטריה (מיוונית גיאוגרפי, "אדמה", ו מטר, "מדידה") הוא אחד הענפים הוותיקים של ה מתמטיקה, המוקדש לחקר צורתם של עצמים בודדים, היחס המרחבי ביניהם ותכונות החלל המקיף אותם.
למרות שבתחילתו צייתה דיסציפלינה זו, כפי ששמה מעיד, ל מדידה במובן המעשי ביותר שלו, לאורך זמן ה אֶנוֹשִׁיוּת הוא הבין שאפילו ההפשטות והייצוגים המורכבים ביותר יכולים לבוא לידי ביטוי במונחים גיאומטריים.
כך צמחו ענפיו הרבים, מידם של ניתוח מתמטי וצורות חישוב אחרות, במיוחד אלו המקשרות ייצוג גיאומטרי עם ביטויים מתמטיים מספריים ואלגבריים.
גיאומטריה היא ענף יסודי של המתמטיקה, שעליו מבוססות דיסציפלינות רבות (כגון ציור טכני או משלו ארכיטקטורה) ומשמשת כהשלמה לרבים אחרים (כגון גוּפָנִי, המכניקה, ה אַסטרוֹנוֹמִיָה, וכו.). בנוסף, הוא הוליד חפצים רבים, מהמצפן והפנטוגרף ועד למערכת המיקום הגלובלית (GPS).
היסטוריה של גיאומטריה
הגיאומטריה מקורה כמעט בתרבויות האנושיות הראשונות. הבבלים הקדמונים היו ממציאים של הגלגל ולכן של הגיאומטריה של המעגלים. מסיבה זו, הם כנראה היו הראשונים לזהות את הפוטנציאל האינסופי של המחקר הגיאומטרי, אותו יישמו עד מהרה לאסטרונומיה.
המצרים הקדמונים עשו את אותו הדבר, אשר טיפחו אותו מספיק כדי ליישם אותו בעבודותיהם האדריכליות המלכותיות, שכן באותה תקופה גיאומטריה ואריתמטיקה היו מדעים פרקטי במיוחד.
היסטוריונים יוונים רבים, כמו הרודוטוס (בסביבות 484-425 לפנה"ס), דיודורוס (בסביבות 90 לפנה"ס - כ-30 לפנה"ס) וסטרבו (סביבות 63 לפנה"ס - כ-24 לספירה) הכירו בחשיבותה של המורשת הגיאומטרית המצרית. , ונחשבו ליוצרי הדיסציפלינה. עם זאת, היוונים הקדמונים הם שנתנו לגיאומטריה את הפן הפורמלי שלה, הודות למודל הפילוסופי המתקדם שלהם.
חשיבות מיוחדת הייתה למתמטיקאי והגיאומטריסט אוקלידס (בסביבות 325 - 265 לפנה"ס), שהוכר כ"אבי הגיאומטריה", שהציע את המערכת הגיאומטרית הראשונה לבדיקת תוצאות, באמצעות עבודתו המפורסמת. היסודות, חובר בסביבות שנת 300 א. ג' באלכסנדריה. שם מתבטאים ההבדלים בין המטוס לראשונה (דו מימד) וה מֶרחָב (תלת ממד).
תרומות חשובות נוספות לגיאומטריה של אותה תקופה היו אלו של ארכימדס (בערך 287 - 212 לפנה"ס לערך) ואפולוניוס מפרגה (בערך 262 - כ- 190 לפנה"ס). עם זאת, במאות שלאחר מכן עבר התפתחות המתמטיקה למזרח (הודו, במיוחד, והעולם המוסלמי), שם פותחה הגיאומטריה יחד עם אַלגֶבּרָה וה טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה, מקשרים אותם עם אַסטרוֹלוֹגִיָה ואסטרונומיה.
לפיכך, העניין בדיסציפלינה חזר למערב רק ב רֵנֵסַנס אירופאי, בו נוספו שמות חדשים רבים למחקר שלו, ובכך הולידו גיאומטריה השלכתית ובעיקר גיאומטריה קרטזית או גיאומטריה אנליטית, פרי עבודתו של הפילוסוף הצרפתי רנה דקארט (1596-1650), הנושא של שיטת מחקר גיאומטרית חדשה שחוללה מהפכה והפכה לתחום ידע זה.
מכאן ואילך התקיימה הגיאומטריה המודרנית, בידם של חוקרים גדולים כמו הגרמני קרל פרידריך גאוס (1777-1855), הרוסי ניקולאי לובצ'בסקי (1792-1856), ההונגרי יאנוס בולאי (1802-1860), בין רבים. אחרים, שהצליחו לצאת מהאקסיומות הקלאסיות של אוקלידס ומצאו תחום חדש של דיסציפלינה: גיאומטריה לא אוקלידית.
מושא לימוד גיאומטריה
הגיאומטריה פועלת גם בדו-ממד וגם בתלת-ממד.גיאומטריה עוסקת בתכונות החלל ובפרט בצורות ו דמויות המאכלסים אותו, דו מימדי (מישור) או תלת מימדי (מרחב), כגון נקודות, קווים, מישורים, מצולעים, polyhedra, וכולי. סוגים אלו של אובייקטים מובנים במונחים של אידאליזציות, כלומר של השלכות מחשבתיות של מרחב, כדי להעביר (או לא) את מסקנותיהם לעולם הקונקרטי.
סוגי גיאומטריה
לגיאומטריה יש ענפים רבים ושונים, והסיווג שלה מגיב בדרך כלל לקשר שהיא מייצרת עם חמש ההנחות הבסיסיות של אוקלידס, שרק ארבע מהן הוכחו רבות מאז העת העתיקה. את החמישית, לעומת זאת, היה צורך לשנות כדי להוליד משפחות שונות של גיאומטריות.
לפיכך, עלינו להבחין בין:
גיאומטריה מוחלטת, כזו הנשלטת על ידי ארבעת ההנחות הראשונות של אוקלידס.
גיאומטריה אוקלידית, כזו שמקבלת גם את ההנחה האוקלידית החמישית כאקסיומה, ומביאה בתורה לשתי גרסאות: הגיאומטריה של המישור (דו-מימדית) וגיאומטריית החלל (תלת-ממדית), לפי הסיווג היווני הקדום. .
גיאומטריה קלאסית, כזו שבה מלוקטות התוצאות של גיאומטריות אוקלידיות.
גיאומטריה לא-אוקלידית, שהופיעה במאה ה-19, היא כזו המפגישה את המערכות הגיאומטריות השונות הרחוקות מההנחה החמישית של אוקלידס, ומקבלת, עם זאת, את ארבע הראשונות או חלק מהן. ביניהם:
- גיאומטריה אליפטית או רימנית, המצייתת לארבעת ההנחות הראשונות של אוקלידס ומציגה מודל של עקמומיות קבועה וחיובית.
- גיאומטריה היפרבולית או לובצ'בסקית, המצייתת רק לארבעת ההנחות הראשונות של אוקלידס ומציגה מודל של עקמומיות קבועות ושליליות.
- גיאומטריה כדורית, מובנת כגיאומטריה של המשטח הדו-ממדי של כדור (ולא מישור ישר), היא מודל פשוט יותר של גיאומטריה אליפטית.
- גיאומטריה סופית, שהמערכת שלה מצייתת למספר מוגבל של נקודות (בניגוד לגיאומטריה האינסופית של אוקלידס), והמודלים שלה חלים רק במישור סופי. ישנם שני סוגים של גיאומטריות סופיות: אפינית והשלכתית.