- מהו המטוס הקרטזיאני?
- היסטוריה של המטוס הקרטזיאני
- בשביל מה המטוס הקרטזיאני?
- רבעים של המישור הקרטזיאני
- אלמנטים של המישור הקרטזיאני
- פונקציות במישור קרטזיאני
אנו מסבירים מהו המישור הקרטזיאני, כיצד הוא נוצר, הרביעים והאלמנטים שלו. כמו כן, כיצד מיוצגות פונקציות.
מהו המטוס הקרטזיאני?
מישור קרטזיאני או מערכת קרטזיאנית נקראים א תרשים של קואורדינטות אורתוגונליות המשמשות לפעולות גיאומטריות במרחב האוקלידי (כלומר, מרחב גיאומטרי העונה על הדרישות שנוסח בימי קדם על ידי אוקלידס).
משמש לייצוג גרפי פונקציות מתמטיות ומשוואות של גיאומטריה אנליטית. זה גם מאפשר לך לייצג מערכות יחסים של תְנוּעָה ומיקום פיזי.
זוהי מערכת דו מימדית, המורכבת משני צירים הנמשכים ממקור אחד לאינסוף (יוצרים צלב). צירים אלה מצטלבים בנקודה אחת (המציינים את נקודת המוצא של הקואורדינטות או נקודת 0,0).
על כל ציר מצוירים קבוצה של סימנים של אורך, המשמשים כ התייחסות לאתר נקודות, לצייר דמויות או לייצג פעולות מתמטיקה. במילים אחרות, זהו כלי גיאומטרי לשים את האחרון ביחס גרפי.
המטוס הקרטזיאני חייב את שמו לפילוסוף הצרפתי רנה דקארט (1596-1650), יוצר תחום גיאומטריה אנליטית.
היסטוריה של המטוס הקרטזיאני
המטוס הקרטזיאני היה המצאה של רנה דקארט, כפי שאמרנו, פִילוֹסוֹף מרכזי ב מָסוֹרֶת של המערב. נקודת המבט הפילוסופית שלו תמיד התבססה על החיפוש אחר נקודת המוצא של ה יֶדַע.
כחלק מאותו חיפוש, הוא ערך מחקרים נרחבים על גיאומטריה אנליטית, אותם הוא מחשיב את עצמו לאביהם ולמייסדו. הוא הצליח לתרגם את הגיאומטריה האנליטית באופן מתמטי למישור הדו-ממדי של גיאומטריית המטוסים והוליד את מערכת הקואורדינטות שאנו משתמשים ולומדים בה עד היום.
בשביל מה המטוס הקרטזיאני?
המישור הקרטזיאני הוא דיאגרמה שבה אנו יכולים לאתר נקודות, על סמך הקואורדינטות שלהן בכל ציר, בדיוק כפי שעושה GPS על הגלובוס. משם, ניתן גם לייצג באופן גרפי את התנועה (ה תְזוּזָה מנקודה אחת לאחרת במערכת הקואורדינטות).
בנוסף, זה מאפשר לך להתחקות דמויות גיאומטריות דו מימדי מקווים ועיקולים. נתונים אלו תואמים לפעולות אריתמטיות מסוימות, כגון משוואות, פעולות פשוטות וכו'.
ישנן שתי דרכים לפתור את הפעולות הללו: מתמטית ואז גרף אותה, או שנוכל למצוא פתרון בצורה גרפית, שכן יש התאמה ברורה בין מה שמאויר במישור הקרטזי, לבין מה שמתבטא בסמלים מתמטיים.
במערכת הקואורדינטות, כדי לאתר את הנקודות אנו זקוקים לשני ערכים: הראשון המתאים לציר X האופקי והשני לציר Y האנכי, המסומנים בין סוגריים ומופרדים בפסיק: למשל, זוהי הנקודה שבה שני הקווים מצטלבים.
ערכים אלו יכולים להיות חיוביים או שליליים, בהתאם למיקומם ביחס לקווים המרכיבים את המטוס.
רבעים של המישור הקרטזיאני
כפי שראינו, המישור הקרטזיאני מורכב מחציית שני צירי קואורדינטות, כלומר שני קווים ישרים אינסופיים, המזוהים עם האותיות איקס (אופקי) ומצד שני י (אֲנָכִי). אם נתבונן בהם, נראה שהם יוצרים מעין צלב, ובכך מחלקים את המישור לארבעה רביעים, שהם:
- רביע I. באזור הימני העליון, שבו ניתן לייצג ערכים חיוביים על כל ציר קואורדינטות. לדוגמה: .
- רביע II. באזור השמאלי העליון, שבו ניתן לייצג ערכים חיוביים על הציר י אבל שלילי ב איקס. לדוגמה: (-1, 1).
- רביע III. באזור השמאלי התחתון, שבו ניתן לייצג ערכים שליליים בשני הצירים. לדוגמה: (-1, -1).
- רביע IV. באזור הימני התחתון, שבו ניתן לייצג ערכים שליליים על הציר י אבל חיובי ב איקס. לדוגמה: (1, -1).
אלמנטים של המישור הקרטזיאני
המישור הקרטזיאני מורכב משני צירים מאונכים, כפי שאנו כבר יודעים: הציר הסמיך (ציר י) והאבססיס (ציר איקס). שני הקווים נמשכים עד אינסוף, הן בערכם החיובי והן בערכם השלילי. נקודת החצייה היחידה בין השניים נקראת מקור (0,0 קואורדינטות).
החל מהמקור, כל ציר מסומן בערכים המבוטאים במספרים שלמים. נקודת החיתוך של כל שתי נקודות נקראת נקודה. כל נקודה באה לידי ביטוי בקואורדינטות המתאימות לה, תמיד אומרים תחילה את האבשסיס ולאחר מכן את הסמכה. בחיבור של שתי נקודות אפשר לבנות קו, ועם כמה קווים דמות.
פונקציות במישור קרטזיאני
ניתן לבטא פונקציות בצורה גרפית במישור הקרטזיאני.ניתן לבטא פונקציות מתמטיות בצורה גרפית במישור קרטזיאני, כל עוד אנו מבטאים את הקשר בין משתנה איקס ומשתנה י בצורה כזו שניתן לפתור אותה.
למשל, אם יש לנו פונקציה שקובעת שהערך של י יהיה בן 4 מתי איקס תן 2 להיות, אנו יכולים לומר שיש לנו פונקציה הניתנת לביטוי כך: y = 2x. הפונקציה מציינת את הקשר בין שני הצירים, ומאפשרת לתת ערך למשתנה בידיעת ערכו של השני.
למשל אם x = 1, אז y = 2. מצד שני, אם x = 2, אז y = 4, אם x = 3, אז y = 6, וכו'. על ידי מציאת כל אותן נקודות במערכת הקואורדינטות, יהיה לנו קו ישר, שכן היחס בין שני הצירים הוא רציף ויציב, ניתן לחיזוי. אם נמשיך את הקו הישר לעבר האינסוף, אז נדע מה הערך של איקס בכל מקרה של י.
אותו הדבר הִגָיוֹן הוא יחול על סוגים אחרים של פונקציות, מורכבות יותר, שיניבו קווים מעוקלים, פרבולות, דמויות גיאומטריות או קווים שבורים, בהתאם לקשר המתמטי המתבטא בפונקציה. עם זאת, ההיגיון יישאר זהה: הבע את הפונקציה בצורה גרפית על סמך הקצאת ערכים למשתנים ופתרון המשוואה.